Construcción de cónicas por homología

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La homóloga de una circunferencia tangente a la recta límite es una parábola ya que ésta tiene un punto sobre la recta límite y la homóloga de la circunferencia es una cónica con un punto en el infinito.
Para trazarla se pasa por O, centro de proyección una recta b hasta el punto de contacto de la circunferencia con la recta límite, ya que en esa dirección está el punto del infinito de la parábola, esto es, la línea paralela al eje de simetría. Si el eje sigue la dirección de O al punto límite, por una perpendicular a esta recta pasará la dirección de la directriz.
Se hace por tanto la perpendicular c a la recta b por el punto O y donde corta a la recta límite se hace una recta tangente d a la circunferencia para obtener el homólogo del vértice de la parábola. Donde ésta recta d corta en el eje hacemos una paralela d’ a c. Ésta línea es paralela a la directriz de la parábola y pasa por el vértice T’ y es tangente a la curva en ese punto, por serlo T a la circunferencia.
El punto de corte de bO con la recta límite lo unimos con el punto de tangencia T de d y esta es la homóloga del eje e’.
El homólogo de T es el vértice de la parábola y se obtiene como intersección de OT con la recta paralela e’ a la recta b, y pasa por el punto de intersección de e con el eje.
Los demás puntos de la homología se deducen como en cualquier otra homología.

Homóloga caso parábola This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Para construir la homóloga de una circunferencia que es tangente a la recta límite, unimos el centro del homología con este punto B de tangencia y hacemos una recta perpendicular a ésta última (centro-D). Desde la intersección D de la última recta con la recta límite hacemos una recta tangente1 (en color verde claro) a la circunferencia y unimos el punto de intersección B de la circunferencia y la recta límite con el último punto de tangencia F. De esta forma obtenemos las dos direcciones principales de la parábola, por un lado el eje de simetría de la curva cuya dirección es la que corresponde al centro y al punto de tangencia de la circunferencia con la recta límite B, y por otro lado la perpendicular a esta recta que define la dirección del centro y la perpendicular a la recta del centro-B (recta centro-D). El vértice de la parábola es en realidad el homólogo del F. Para calcular los homólogos de todos los demás puntos de la circunferencia procedemos como en cualquier homología, por ejemplo dibujamos una recta que pase por el centro de homología centro-K, y una recta secante a la circunferencia KJ que corta al eje en el punto L, por L hacemos una recta paralela a la dirección centro-K y a continuación hacemos la recta que pasa por el centro de homología y por J, la intersección de estar recta y la paralela anterior que pasa por el punto L definen el punto M de la curva parabólica. De igual forma procedemos con las demás rectas secantes a la circunferencia. El caso hiperbólico: la circunferencia corta a la recta límite en dos puntos por lo que su homóloga es la hipérbola. Por O, centro de proyección se trazan 2 rectas OF OP que pasan por los puntos de intersección de la circunferencia con la recta límite, esa va a ser la dirección de las asíntotas ya que éstas son tangentes a la hipérbola en el infinito y los puntos límites F P son los homólogos de los 2 puntos del infinito de la hipérbola. Por F P se hacen las tangentes a la circunferencia que se cortan en C y su prolongación hasta el eje VM define las dos asíntotas n m que se cortan en un punto Z, centro de la hipérbola. Si alineamos O con C tenemos que la recta incide en Z ya que ésta define el eje de la hipérbola, pues la intersección de las asíntotas es el centro de la hipérbola Z y C el homólogo del centro y por simetría el eje es la bisectriz de las dos asíntotas. El eje de simetría de la hipérbola corta al eje de la homología en un punto que unido con C intercepta a la circunferencia en X Y, puntos homólogos de los vértices de la hipérbola ya que si éste es el homólogo del eje de simetría por cortarse en el eje de homología y pasar por el homólogo C de Z, si intercepta a la circunferencia en dos puntos sólo pueden ser homólogos de los vértices pues pasan por la recta homóloga del eje de simetría de la hipérbola. La intersección de OX con el eje aporta X’, vértice de la hipérbola, de igual forma la alineación OY detecta Y’. Los demás puntos de la homología se deducen como en cualquier otra homología. Homóloga caso hipérbola This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Para construir el caso de la homóloga de una circunferencia secante a la recta límite, unimos el Centro con los puntos de intersección de la circunferencia con la recta límite CB obteniendo de esta manera la dirección de las dos rectas asíntotas. Construimos las dos rectas tangentes por estos puntos límites CB, en la intersección del eje con estas rectas construimos las dos rectas rojas asíntotas a partir de estos puntos, siempre paralelas a las direcciones del centro-C y del centro-B. Si alineamos el centro de la homología con la intersección E de las dos rectas tangentes (en color azul claro) tenemos que la prolongación de esta recta centro-E corta a la intersección de las dos rectas rojas asíntotas en el punto H, es el centro de la hipérbola. La recta bisectriz de las dos asíntotas es el eje de la hipérbola (recta discontinua en color azul claro), donde este eje corta al eje de la homología (en I), lo unimos con el punto de intersección E de las dos tangentes azules. Esta recta IE corta a la circunferencia en dos puntos JK, sus homólogos LM son los vértices de la hipérbola. Para calcular los demás puntos de la hipérbola construimos una recta cualquiera que vaya del centro de homología a la recta límite (por ejemplo la recta que definen los puntos centro-N), a continuación hacemos varias secantes a la circunferencia NQ NR NS y en los puntos de intersección de estas rectas con el eje de homología hacemos rectas paralelas a la dirección del centro-N, obteniendo las rectas OT DU PV. A continuación alineamos el centro de la homología con los puntos Q, R, S K, teniendo en la intersección con las últimas correctas calculadas los homólogos de la circunferencia T, U, V. Para calcular los puntos homólogos de una circunferencia, dado uno de los puntos de la figura transformada, en este caso una elipse, procedemos como hasta ahora: unimos un punto de la circunferencia A’ con otro B’ de la misma hasta que se corten el eje, en el punto de corte del eje lo unimos con el punto de la elipse dado A, donde ésta recta corte a la recta OB’ obtenemos el punto B. Las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos están alineados con el centro de proyección. En la ilustración podemos ver que si hacemos una tangente a la circunferencia y en su punto homólogo de la elipse hacemos otra recta tangente, se corta en el mismo punto del eje. De ello se desprende que la tangencia es un invariante de la homología, al igual que la incidencia, la intersección, la polaridad, la razón doble, etc. Una elipse se transforma en otra mediante una homología de centro O. La recta secante AB corta en el eje en un punto y la homóloga de la recta se corta en el mismo punto. Como lo homología es un caso particular de la perspectiva, y ésta representa lo que el ojo ve, en teoría una circunferencia se podría ver como cualquiera de las cónicas, no sólo como lo que nos parece ver que en principio sería una elipse por regla general. No obstante la perspectiva artificial que es la puramente geométrica, utiliza un plano del cuadro recto mientras que el de la perspectiva natural del ojo, se proyecta sobre una retina cóncava, amén de todas las transformaciones ópticas y fisiológicas que se producen hasta que se forma la imagen en el cerebro.

Homóloga caso elipse This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

Para construir la homóloga de una circunferencia en el caso elíptico, dados el Centro de la homología, la recta Límite (en color rojo) y el Eje (en color verde) así como la circunferencia de la que hemos de calcular su figura homóloga se procede de la siguiente forma.
Se considera la recta límite como la recta polar de la que se calcula el Polo sobre la circunferencia, para ello hacemos una recta perpendicular HA a la límite desde el centro de la circunferencia A, en el punto de intersección trazamos las tangentes, uniendo estos dos puntos de tangencia IM obtenemos en la intersección con la recta anterior perpendicular HA el polo de la recta límite. Calculamos también la recta polar LM de la circunferencia respecto al centro, esta recta es la que pasa por los puntos de tangencia LM de las rectas tangentes a la circunferencia desde el centro. La intersección de la recta polar LM con la recta que une el centro de la circunferencia A con el centro de la homología nos define el punto conjugado (en color verde).
Construimos la recta mediatriz (línea discontinua alterna de color azul claro) del segmento comprendido entre el centro del homología y el punto conjugado. Donde esta recta mediatriz corta a la límite tenemos el centro de la circunferencia C de la que tomamos como radio la distancia de este último centro calculado al centro de la homología. Donde esta circunferencia corta a la recta límite obtenemos los dos puntos NK que definen junto con el centro la dirección de los dos ejes de la elipse (en el dibujo en color ocre y morado).
Desde estos puntos límites K N hacemos las dos rectas tangentes a la circunferencia teniendo en la intersección con el eje las trazas de las que vamos a calcular sus homólogas que definen el cuadrilátero que inscribe a la elipse. Donde estas tangentes cortan al eje hacemos rectas paralelas a las direcciones del centro-K y del centro-N. De esta forma podemos dibujar el cuadrilátero con las direcciones correspondientes a la dirección en ocres los segmentos VS y UT. Y las homólogas correspondientes a la dirección en morado los segmentos VU y ST.
Los puntos medios de este cuadrilátero determinan el eje mayor y eje menor de la elipse. Si la circunferencia corta al eje de homología la elipse también lo cortará en los mismos puntos.

Dado un cuadrilátero, inscribir una elipse, calcular su homóloga y el centro de la elipse.

Homóloga de elipse y centro This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com