Rectas límites

límites This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com Una recta límite es la homóloga del infinito, la imagen que corresponde a la que está final de un plano. Un ejemplo lo tenemos en la línea del horizonte del mar que es la perspectiva de la línea del final del plano del mar, despreciando la curvatura del planeta que baja la línea de horizonte y la curva respecto a la línea límite u horizonte utilizada en geometría. Como hay dos planos, cada uno tiene su recta límite, la que corresponde al final del otro plano, en el dibujo son las dos rectas violetas, siempre paralelas al eje. Para calcular las rectas límites de dos rectas homólogas a, a’ situadas en dos planos que se cortan en el eje e y con un centro de proyección O, se pasa por éste una recta n paralela a a', ésta corta al plano que contiene a la recta a en L. L es el punto límite de la recta a, u homólogo del que está en el infinito de a'. Si por el punto límite L se traza una recta paralela l al eje se tiene la recta límite del plano, que es la homóloga de la recta del infinito del plano. De ello se desprende que el plano Z es siempre paralelo a Z'. Para obtener la recta límite del otro plano se procede de igual forma. El triángulo ABC tiene un punto (el A) en la recta límite, por lo que OA define la dirección de las rectas paralelas m’ n’ con el punto común de ambas en el infinito. Para determinar la homóloga de una recta m (definida por AC), se une O con el punto límite de la recta, A. La línea OA es la dirección de m’ y ésta tiene su punto doble sobre el eje, por lo que donde corta al eje (en C) hacemos una paralela a OA y esa es la homóloga m’ de m. El triángulo rojo BCM está atravesado por una recta límite que lo corta en 2 puntos, siendo ésta el lugar geométrico de los puntos homólogos del infinito, el triángulo homólogo B’C’M’ acotado por las tres rectas que lo definen tendrá por tanto 2 puntos en el infinito por lo que es el que aparece en color amarillo sobre el dibujo. Si un triángulo ABC se corta en el eje, su homólogo A’B’C’ también se cortará en el eje en las recta s homólogas. Si 1 punto B queda separado del eje por los otros 2 puntos AC y su homólogo tiene los 3 puntos A’B’C’ del mismo lado del eje, su transformado ABC no está acotado, esto es, tiene elementos en el infinito. Dado el triángulo A’B’C’ obtener su homólogo conociendo el homólogo de A’, A, el eje y el centro O. Como el eje es el lugar geométrico de los puntos dobles (homólogos de sí mismos), el hecho de que A’B’C’ no corte al eje y ABC sí significa que el triángulo homólogo de A’B’C’ tiene 2 puntos en el infinito, esto es, el triángulo ABC es el señalado en verde, de B hacia el infinito y de éste a AC. Dos triángulos homólogos que se cortan en el eje, los puntos de contacto de un triángulo con el eje tiene por homólogos a los mismos puntos, se dice que son homólogos de sí mismos (puntos dobles), con lo que el triángulo homólogo pasa por esos dos puntos. Como vemos en el dibujo sí una recta del triángulo se cortan el eje, la otra recta homóloga del otro triángulo también se corta en el mismo punto del eje. Si por el centro de proyección hacemos paralelas a esas dos rectas, en la intersección de cada recta con la otra recta no paralela tenemos un punto por el que pasa la recta límite siempre paralela al eje. En este ejemplo práctico se ven dos rectas homólogas y las dos rectas paralelas a ellas por el centro de proyección O que determinan un paralelogramo en cuyos vértices opuestos pasan las rectas límites y por los otros vértices opuestos pasan el centro y el eje. Como es un paralelogramo en el que las rectas límites están en los vértices opuestos se desprende de ello que la distancia del centro a una recta límite es igual a la distancia del eje a la otra recta límite.