Generalidades

Homología This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com 2 rectas son homólogas BC y B'C' cuando se cortan en una recta G llamada eje y tienen todos sus puntos alineados OBB' OCC' sobre rectas que inciden en un punto O llamado centro de homología. Las homología se puede percibir en la realidad en cualquier objeto y sus sombras: la sombra que arroja sobre una superficie y la línea que separa la luz de la sombra del objeto son formas homólogas pues cada punto de sombra arrojada A’ tiene el correspondiente en el objeto A, por tanto OAA’ están siempre alineados. Si cogemos un par de puntos de la sombra A’B’ y hacemos una recta que pasa por ellos se cortan en el mismo punto P que sus homólogos de la sombra del cuerpo AB, esto es, las rectas homólogas se cortan en otra llamada eje que es la intersección del plano de sombra propia del objeto que pasa por AB y del plano de sombra arrojada A’B’V’. Otro ejemplo de homología es la perspectiva de un objeto que dibujamos sobre un papel o cristal: El cuadrado magenta se “ve” desde O como el cuadrilátero azul, quiere decir que son perspectivos y esto es una homología ya que si prolongamos la recta A’B’ y su homóloga AB, ambas se cortan en P que es un punto del eje o el equivalente a la línea de tierra en la perspectiva cónica. La otra propiedad de la homología también se cumple: los puntos homólogos AA’ (o perspectivos) están alineados con O. Si los cuadriláteros son perspectivos desde un centro O, también lo son desde un eje (esto quiere decir que las rectas homólogas se cortan en el eje) y recíprocamente si lo son desde un eje también lo son desde el centro O. Si esta homología la aplicamos a un triángulo tenemos un teorema esencial de la geometría proyectiva de los triángulos perspectivos (el teorema de Desargues): “Si 2 triángulos son perspectivos desde un eje también lo son desde el centro, la recíproca es cierta, si lo son desde el centro también desde el eje”. Si establecemos una nueva homología en la que el nuevo centro está en el infinito y el cuadrado magenta se transforma en el amarillo mediante proyección de sus puntos por líneas paralelas B’(B’), tenemos un caso particular de la homología llamado afinidad en la que se conserva el paralelismo. Un cuadrado se transforma en otro mediante un giro (abatimiento del plano) y como todos los puntos del cuadrado magenta se pueden transformar en los de otro amarillo mediante paralelas tenemos que el abatimiento es una afinidad, ya que persisten las propiedades de la homología: las rectas homólogas se cortan en el eje y los puntos homólogos afines B’(B’), están alineados con el centro que está en el infinito en la dirección B’(B’). El teorema de Desargues en el espacio: si una pirámide de vértice O es seccionada por 2 planos generando como secciones 2 triángulos a a’, al prolongar los lados respectivos de los triángulos se cortan en tres puntos P Q R de la intersección de los 2 planos (el eje), por lo que éstos están alineados. Recíprocamente, el hecho de que los dos triángulos tengan como intersección P Q R en la prolongación de sus lados respectivos, significa que son secciones de una pirámide de vértice O. En el espacio, como en el plano: si 2 triángulos no coplanares son perspectivos desde un centro O, lo son desde un eje y recíprocamente si los son desde un eje lo son desde el centro O. La demostración es sencilla: cada plano que contiene a cada par de lados homólogos corta al eje en un punto, por lo que los tres son colineales. Si dos rectas, AB, A'B', son homólogas se cortan en un punto P de una recta llamada eje y todos los puntos homólogos (por ejemplo AA') están alineados con otro, O, llamado centro de proyección. En una homología plana dos figuras son homólogas cuando se corresponden de manera que los puntos homólogos están alineados con otro llamado centro y las rectas homólogas se cortan en una recta llamada eje. Todos los puntos del eje son homólogos de sí mismos por lo que se dice que son dobles y todas las rectas que pasan por el centro de proyección también. Una homología puede quedar determinada: 1- Por el centro de proyección, por una recta límite y el eje. 2- Por dos puntos homólogos de otros dos y la dirección del eje. 3- Por dos puntos homólogos, el eje y el centro de proyección. 4- Por dos puntos homólogos, el eje y la recta límite. 1 En este primer caso, nos dan el centro O, la recta límite y el eje. Hacemos un punto cualquiera A del que vamos a obtener su homólogo, por A hacemos una recta cualquiera s hasta que corte a la recta límite en un punto que unimos con el centro de proyección O, obteniendo de esta forma la recta p. Donde la recta s corta al eje hacemos una recta t paralela a la recta anterior p. Hacemos una recta que pasa por el centro de proyección O y por A y en la prolongación obtenemos en la intersección con la recta t el homólogo del punto A que es el punto A’. 2 Nos dan un par de puntos homólogos, la dirección del eje o de cualquier recta límite y el centro de proyección O. Hacemos la recta que une los puntos AB y la recta que une los puntos A’B’. Como las rectas homólogas se cortan en el eje, por el punto de intersección de las dos rectas hechas pasa el eje. Hacemos por el centro de proyección O una recta paralela a la que definen los puntos AB y en la intersección de la prolongación de la recta que definen los puntos A’B’ tenemos el punto por donde pasa la recta límite según la dirección dada. Para calcular la otra recta límite se opera de igual forma. 3 Nos dan un par de puntos homólogos, el centro de proyección y el eje. Para calcular la recta límite hacemos una recta cualquiera d que pase por A. Ésta recta corta al eje en un punto que unimos con su homólogo A’, obteniendo de esta forma la recta f, a la que hacemos una paralela por el centro de proyección O obteniendo la recta v. La intersección de las dos rectas dv determina un punto por donde pasa la recta límite que es siempre paralela al eje. Todos los puntos de la recta d tienen sus homólogos sobre la recta f, de manera que las rectas que alinean cada par de puntos homólogos de ambas rectas son una radiación, esto es, un conjunto de rectas que pasan por el centro de proyección O. 4 Nos dan dos puntos homólogos AA’, la recta límite y el eje. Hacemos una recta cualquiera que pase por uno de los puntos homólogos A, por ejemplo la recta k. Por el punto de intersección de la recta k con el eje hacemos una recta t que pase por el homólogo A’. Por el punto de intersección de la recta k con la recta límite, hacemos una recta s paralela a la recta t. En la intersección de la recta s con la recta AA’ obtenemos el centro de proyección O de la homología. Para calcular la homóloga de una figura 1-2-3-4-5, dado el eje, el centro proyectivo, y un punto homólogo de la figura, el 3' por ejemplo, se pasa una línea por dos puntos de la figura: 3-1 hasta que la prolongación corte al eje. En el punto de corte con el eje se une con el 3' y donde corte a la prolongación de la recta C-1, encontraremos el punto 1'. Los demás puntos se calculan análogamente: 4 con 1 determina una recta que corta al eje por donde se pasa otra recta que pasa por 1' y que se interseca con C-1 en 4', etc.